Conditional stability for ill - posed elliptic Cauchy problems : the case of C 1 , 1 domains ( part I )

This paper is devoted to a conditional stability estimate related to the ill-posed Cauchy problems for the Laplace’s equation in domains with C boundary. It is an extension of an earlier result of [19] for domains of class C. Our estimate is established by using a global Carleman estimate near the boundary in which the exponential weight depends on the distance function to the boundary. Furthermore, we prove that this stability estimate is nearly optimal and induces a nearly optimal convergence rate for the method of quasi-reversibility introduced in [15] to solve the ill-posed Cauchy problems. Key-words: ill-posed problem, conditional stability, Carleman estimate, quasi-reversibility, distance function in ria -0 03 02 35 4, v er si on 1 21 J ul 2 00 8 Stabilité conditionnelle pour les problèmes de Cauchy elliptiques mal posés : le cas d’un domaine de classe C (partie I) Résumé : Ce document concerne une estimation de stabilité conditionnelle relative aux problèmes de Cauchy mal posés pour l’équation de Laplace dans un domaine de classe C. Ce résultat constitue une généralisation d’un résultat antérieur [19] pour un domaine de classe C. Notre estimation est obtenue en utilisant une inégalité de Carleman globale près du bord, dans laquelle le poids exponentiel dépend de la fonction distance au bord. De plus, nous montrons que cette estimation de stabilité est quasi-optimale et implique une vitesse de convergence quasi-optimale pour la méthode de quasi-réversibilité introduite dans [15] pour résoudre les problèmes de Cauchy mal posés. Mots-clés : problème mal posé, stabilité conditionnelle, inégalité de Carleman, quasi-réversibilité, fonction distance in ria -0 03 02 35 4, v er si on 1 21 J ul 2 00 8 Conditional stability for ill-posed Cauchy problem 3